요청/2016서울과학기술대학편입수학

2016년 서울과학기술대학교 편입 수학문제 11

내꿈은자동화 2017. 1. 4. 23:50

이 문제는 경로에 무관한 선적분을 이용하여 풀 것이다.

사용할 식은 아래와 같다.

F1dx+F2dy 가 완전미분이면 dϕ=F1dx+F2dy 를 만족하는 함수 ϕ 가 존재하므로 

CF1dx+F2dy=ABdϕ=ϕ(B)ϕ(A) - (<참고 문헌 1> 솔직한 공학수학)


이 문제에서 F1=exsiny+x,F2=excosy+tan1y 이다.

F1y=excosy=F2x=excosy 이기 때문에 임의의 영역에서 완전미분 가능하다.


ϕxϕy 를 이용하여 ϕ 를 구할 것이다.


먼저 ϕx 를 x 에 대해 적분하고 y 에 대해 편미분해서 ϕ 를 구한다.

ϕ=exsiny+12x2+g(y)

ϕy=excosy+g(y)

g(y)=tan1y

g(y)=π412lny (- 이것에 대해서는 별도의 증명을 하지 않겠다. 구글링 고고)

ϕ=exsiny+12x2+π412lny


이제 ϕ 를 구했으니 곡선의 A,B를 구해야 한다. (0,0) 에서 출발해서 (2π,0) 에 이르는 곡선인데 x,y에 해당 값을 넣으면 된다.


(0,0)(2π,0)d(ϕ(x,y))=(0,0)(2π,0)(exsiny+12x2+π412lny)=2π2


답은 2π2 이다.



<참고 문헌>

1. 솔직한 공학수학, 노태완 저