2016년 서울과학기술대학교 편입 수학문제 11

이 문제는 경로에 무관한 선적분을 이용하여 풀 것이다.

사용할 식은 아래와 같다.

$F_{1}dx + F_{2}dy$ 가 완전미분이면 $d\phi = F_{1}dx + F_{2}dy$ 를 만족하는 함수 $\phi$ 가 존재하므로 

$\int_{C}F_{1}dx + F_{2}dy = \int_{A}^{B}d\phi = \phi(B) - \phi(A)$ - (<참고 문헌 1> 솔직한 공학수학)

이 문제에서 $F_{1} = e^x\sin y + x, F_{2} = e^x\cos y + \tan^{-1}y$ 이다.

$\frac{\partial F_{1}}{\partial y} = e^x\cos y = \frac{\partial F_{2}}{\partial x} = e^x\cos y$ 이기 때문에 임의의 영역에서 완전미분 가능하다.

$\frac{\partial \phi}{\partial x}$ 와 $\frac{\partial \phi}{\partial y}$ 를 이용하여 $\phi$ 를 구할 것이다.

먼저 $\frac{\partial \phi}{\partial x}$ 를 x 에 대해 적분하고 y 에 대해 편미분해서 $\phi$ 를 구한다.

$\phi = e^x\sin y + \frac{1}{2}x^2 + g(y)$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = e^x\cos y + g^{\prime}(y)$

$g^{\prime}(y) = \tan^{-1}y$

$g(y) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln y$ (- 이것에 대해서는 별도의 증명을 하지 않겠다. 구글링 고고)

$\phi = e^x\sin y + \frac{1}{2}x^2 + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln y$

이제 $\phi$ 를 구했으니 곡선의 A,B를 구해야 한다. (0,0) 에서 출발해서 ($2\pi$,0) 에 이르는 곡선인데 x,y에 해당 값을 넣으면 된다.

$\int_{(0,0)}^{(2\pi,0)}d(\phi(x,y)) = \int_{(0,0)}^{(2\pi,0)}(e^x\sin y + \frac{1}{2}x^2 + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln y) = 2\pi ^2$

답은 $2\pi ^2$ 이다.

<참고 문헌>

1. 솔직한 공학수학, 노태완 저