2016년 서울과학기술대학교 편입 수학문제 6

6. n = 4 일 때 심프슨 공식을 이용하여 $\int_{0}^{2}\frac{1}{1+x}$ 의 근사값을 구하여라

이 문제에서는 '심프슨 공식' 을 사용한다. (위키백과 외부참조)

심프슨 공식은 기본적으로 이차방정식을 이용하는데 이 문제에서는 n=4 인 것을 사용하라 했으니 '참조' 글에 나와있는 확장 식을 사용할 것이다.

<그림 1> 심프슨공식 (확장)

혹시 심프슨 공식이 낯설다면 n = 4가 무엇을 의미하는지 모를 수 있을 것이다. (사실 이번 글에서 위키백과 내용 제외하면 남는게 이것 뿐)

심프슨 공식은 x 의 범위가 a에서 b 까지일 때 n개로 범위를 나눠서 $x_0 에서 x_n$의 수를 공식에 대입하여 계산하는 것이다.

이 문제에서는 $x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1, x_3 = 1.5, x_4 = 2$ 이다.
(+ 확장 공식에서는 $h = \frac{b-a}{n}$)

<그림 2> 심프슨 공식에서의 n 값의 의미

$\int_{0}^{2}\frac{1}{1+x} = \frac{1}{3}*\frac{2-0}{4}[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{4/2-1}f(x_{2j}) + 4\sum_{j=1}^{4/2}f(x_{2j-1})+f(x_4)]$

$= \frac{1}{6}[\frac{1}{1+0}+\frac{4}{1+0.5}+\frac{2}{1+1}+\frac{4}{1+1.5}+\frac{1}{1+2}] = \frac{33}{30} = \frac{11}{10}$

답은 $\frac{11}{10}$, 3번이다.

심프슨 공식에서 x가 등간격으로 나뉘는 것이 마음에 안든다면 다른 공식을 만들어서 풀어보길 바란다. 그 공식은 심프슨 공식은 아니지만, 어떤 곳에서는 더 빠른 연산이 될 수도 있다.

<참고 문헌>

1. 위키백과 한국어판 (심프슨 공식) (외부참조)

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