2016년 서울과학기술대학교 편입 수학문제 9

해당 문제는 Lemniscate, 연주형 형태의 도형의 넓이를 구하는 문제이다.

미분 가능한 닫힌 곡선의 넓이를 구하는 Green 의 정리를 이용해 설명할 것이다.

Green의 정리는 $A = \frac{1}{2}\oint_{C}xdy-ydx$ 인데 이 문제는 극좌표계에서 사용해야 하기 때문에 아래와 같이 변경하여 사용한다.

$A = \frac{1}{2}\oint_{C}r^2d\theta$ - 식 1

을 이용하여 구한다.

<그림 1> $r^2 = 4sin2\theta$ 의 '대략적인' 그래프

(파워포인트로 그린다고 그림이 이상해졌네요...실제 그래프는 손으로 $\pi$ 값 변경하며 그려보시기 바란다.)

식 1 에서 $\theta$ 의 범위가 $0$~$\frac{1}{4}\pi$ 까지일 때를 구해서 그 값을 2배 해주는 식으로 구할 것이다.

$\frac{1}{4}A = \frac{1}{2}\int_{0}{\frac{\pi}{4}}4sin2\theta d\theta$ $= 2\int_{0}{\frac{\pi}{4}}\sin2\theta d\theta$ $= [-cos2\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 1$

그러므로 넓이$A = 4$ 이다.

<참고 문헌>

<그림>