2016년 서울과학기술대학교 편입 수학문제 10

손으로 즐겁게 문제를 풀고나서 블로그로 옮기는건 힘들군요

10번 문제는 Jacobian 을 이용하여 좌표 변환을 하여 넓이를 구하는 문제이다.

<그림 1> 10번 문제에 주어진 좌표와 회전

평행사변형을 그려보면 <그림 1> 과 같고 이 문제에서는 $u,v$ 축으로 좌표변환을 하여 문제를 풀 것이다.

$\int\int_{R}(3x+2y)\sqrt{2y-x}dA$ 를 구해야 한다. (보통 이런 문제에서 각 항이 u 나 v 로 치환된다.)

(0,0) - 1
(4,2) - 2
(2,5) - 3
(-2,3) - 4
라고 할 때

1 - 2 지나는 직선 : $-x + 2y = 0$
2 - 3 지나는 직선 : $3x + 2y = 16$
3 - 4 지나는 직선 : $-x + 2y = 8$
4 - 1 지나는 직선 : $3x + 2y = 0$

여기서 $-x + 2y = u, 3x + 2y = v$ 로 치환한다. ($0\leq u\leq 8, 0\leq v\leq 16$)

그렇게 하면 기존에 풀어야 하는 식을 다음과 같이 변경할 수 있다.

$\int\int_{R}(3x+2y)\sqrt{2y-x}dA = \int_{u = 0}^{8}\int_{v = 0}^{16}v\sqrt u |J(u,v)| dvdu$

x,y 를 u,v 로 나다내면 $x = \frac{1}{4}(-u+v), y = \frac{1}{8}(3u+v)$ 이다.

그리고 Jacobian 을 구하면 $J(u,v) = $ \begin{vmatrix} \frac{-2}{8} & \frac{2}{8} \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{8} \end{vmatrix} $= \frac{-1}{8} -> |J(u,v)| = \frac{1}{8}$

$\int_{u = 0}^{8}\int_{v = 0}^{16}v\sqrt u |J(u,v)| dvdu$ $= \int_{u = 0}^{8}\int_{v = 0}^{16}v\sqrt u \frac{1}{8} dvdu$

$= \frac{1}{8}*\frac{1}{2}*16^2\int_{u=0}^{8}\sqrt{u}du$ $= 16[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$ $= 16 * \frac{2}{3} * 16 * \sqrt{2}$ $= \frac{512}{3}\sqrt{2}$

답 : $\frac{512}{3}\sqrt{2}$

<참고 문헌>

<그림>