2016년 서울과학기술대학교 편입 수학문제 8

8. $f(x) = (x^2-2x+2)^{10}$ 일 때

$f^{(16)}(1)$ 의 값을 구하는 문제이다.

처음 이 문제를 보 Taylor Series 가 생각났다.

하지만 Taylor Series 는 1차 식에서 사용되었기 때문에 이 문제에는 적합하지 않다.

어떻게 이 문제의 풀이법이 생각났나에 대해 알아보자면 말이 길어질 것 같으니 풀이법을 바로 소개하겠다.

$f(x) = (x^2-2x+2)^{10} = {(x-1)^2+1}$

$x-1 = t, dx = dt$ 이것 때문에 f에 대한 미분과 t에 대한 미분이 같게 된다.

x에 대해 $f^{(16)}(1)$ 을 풀어야 할 때 t에 대해서는 $f^{(16)}(0)$ 을 풀면 된다.

$f(t) = (t^2+1)^{10}$

를 모두 전개한 후 미분한다고 생각하면 된다.

$(a+b)^{10}$ 을 전개하면 $_{10}C_{0}a^{10}b^0 + _{10}C_{1}a^9b^1 + ... + _{10}C_{9}a^1b^9 + _{10}C_{10}a^0b^{10}$ 이 된다.

이와 같이 $f(t) = (t^2+1)^{10}$ 을 전개하고 그 값을 t 에 대해 16번 미분한 후 t에 0을 넣은 것을 생각해보자.

t 의 16제곱 미만인 수는 미분을 하는 중에 사라졌을 것이고 16제곱보다 큰 수는 0을 넣으니 사라질 것이다.

결국 t의 16제곱인 수의 계수가 이 문제의 답이고 이는 $_{10}C_{8} * 16! = 45 * 16!$ 이다. ($_{10}C_{8}$ 은 계수, 16!은 미분을 16번 할 때 앞에 곱해져 나온 것이다.)

<참고 문헌>