2016년 서울과학기술대학교 편입 수학문제 5

5. 이 문제는 아래와 같은 방법으로 구하면 된다.

<그림 1> 5번 문제에서 xy평면에서의 넓이

먼저 <그림 1> 에서 빨간색 선은 $y = \frac{x}{1+x^3}$ 인데 정확하게 그래프를 그릴 수 있을 필요는 없다. 대강 $x = 0, x = 1$ 에서의 값을 알아보고 그래프로 그린 다음에 $y = 0, x = 1$ 로 둘러싸인 부분의 값을 적분을 이용하여 구하자.

1. x,y 평면에서 파란색으로 칠해진 부분의 넓이를 구한다.

2. 갈색 화살표 방향으로 회전 (y축 중심 회전) 하여 부피를 구한다.

순서대로 진행해보자. (적분은 그냥 다 외운다는 생각으로 해야 되니까 매우 짜증난다.)

먼저 1번

결과만 놓고 본다면 여기서 사용하는 연산은 부분분수, 치환적분(다항함수, 삼각함수)이다.

$\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^3}dx = \int_{0}^{1}\frac{x}{(1+x)(1-x+x^2)}dx$ 여기서 $\frac{x}{(1+x)(1-x+x^2)}$ 만 내놓고 생각해 보자.

$\frac{x}{(1+x)(1-x+x^2)} = \frac{Ax}{1+x} + \frac{Bx^2 + Cx}{1-x+x^2} = \frac{Ax-Ax^2+Ax^3+Bx^2+Cx+Bx^3+Cx^2}{(1+x)(1-x+x^2)}$

위 식의 A,B,C 를 구하면

-> $A = \frac{1}{3}, B = -\frac{1}{3}, C = \frac{2}{3}$

-> $\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^3}dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x}+\frac{-x^2+2x}{1-x+x^2}dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}(\frac{1+x}{1+x} - \frac{1}{1+x} + \frac{-(x^2-x+1)}{x^2-x+1} + \frac{x+1}{x^2-x+1})dx$

$= \frac{1}{3}\int_{0}^{1}(1 - \frac{1}{1+x} - 1 + \frac{x+1}{x^2-x+1})dx = -\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx + \frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{x+2}{x^2-x+1}dx$ 

$ = -\frac{1}{3}(\ln{2} - 0) + \frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{x+2}{x^2-x+1}dx$ 에서 뒤의 항을 따로 꺼내서 계산해보자. ($-\frac{1}{3}\ln{2} ... 넓이 1$)

$\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{x+2}{x^2-x+1}dx$ 에서 $1-x+x^2 = t$ 로 치환, 양변을 t 에 대해 미분하면 $\frac{d}{dt}(1-x+x^2) = 1 -> (-1 + 2x)dx = dt -> (-\frac{1}{2}+x)dx = \frac{1}{2}dt$

이 것을 기존 적분에 대입, $\frac{1}{3}\int_{t = a}^{b}\frac{1}{2}\frac{1}{t}dt + \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x+x^2}dx = 0 + \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{(x^2-x+\frac{1}{4})+\frac{3}{4}}dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx$

여기서 삼각함수로 치환하여 문제를 풀어나간다.

$\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\frac{1}{2}) = \tan t -> (x-\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}\tan^2 t ... 1, dx = \frac{\sqrt{3}}{2}\sec^2 t dt ... 2$ 이 두 조건(1,2)을 이용하여 적분식을 치환하고 계산한다.

$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sec^2 t}{\frac{3}{4}(\tan^2+1)}dt = \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}*2*\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} ... 넓이 2$

XY 평면에서의 적분 값 (넓이 1 + 넓이 2) : $\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^3}dx = -\frac{1}{3}\ln{2} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = A$

1번의 값을 다 구했고 이제 2번을 할 차례이다.

Y축을 중심으로 회전시키는 것은 $\int_{0}^{2\pi}Ad\theta = 2\pi * A$

답 : 부피는 $2\pi(-\frac{1}{3}\ln{2} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}})$

이 문제의 경우 과기대에서 제출한 답과 다르게 결과가 나오는데 내 계산이 틀렸다면 연락을 주시기 바랍니다.

몇 번이나 문제를 풀었는데 답이 나오지 않아서 적분계산기 사이트를 이용하여 내 계산이 실제 적분값과 맞는지 과기대에서 제시한 답안의 적분값이 맞는지 확인해보며 글을 작성하였다.

계산이 너무 많이 들어간 문제라 글이 매끄럽지 못하다.

<참고 문헌>

<그림>