2016년 서울과학기술대학교 편입 수학문제 1-4

아직 모바일에 수식(LaTeX)을 적용하지 않아 PC로 봐야합니다. 

1. 다음 중 극한이 맞는 것의 개수는? (극한에 대한 간단한 설명은 링크를 참고하길 바란다.)

ㄱ. $\lim_{x->3^-}{\frac{2x}{x-3}} = \infty$

(문제에서 $x->3^-$가 아니라 3이었다면 답은 $\frac{상수}{0} = \infty$이다. )

분모 분자에 모두 $3^-$를 넣어보자.

분자는 6보다 약간 작은 수로 수렴하고 분모는 0보다 약간 작은 수로 수렴한다.

즉, $\lim_{x->3^-}{\frac{2x}{x-3}} = \infty -> -\infty$  (X)

 

ㄴ. $\lim_{x->\infty}{(\sqrt{x^2-4x}-x)} = \infty$

이 경우 $\sqrt{x^2+4x}$ 가 x 보다 더 크기 때문에 답이 $\infty$ 라 생각할 수도 있다.

하지만 실제로 x 의 증가속도를 보면 둘은 거의 비슷하다. (궁금하다면 계산기로 x 에 수를 넣어가면서 둘을 비교해 보자.)

이런 문제의 경우 $\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)} = \frac{a^2-b^2}{a-b}$ 를 해주자.

$\lim_{x->\infty}{(\sqrt{x^2-4x}-x)} = \lim_{x->\infty}{\frac{x^2+4x-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}}$가 되고 분모 분자에 x를 나누면 분자, 분모에 각각 4,2가 살아남아 답은 2가 된다. (X)

 

ㄷ. $\lim_{x->\infty}{(1+\frac{1}{x})}^{xlnx} = 1$

처음 이 문제를 보고 테일러급수인가? 했는데 그건 합 연산에 대한 문제고...

$(1+\frac{1}{x})$에서 x 가 무한대로 가면 1 이다.

$\lim_{x->\infty}{lnx} = \infty$ 이다. x 또한 무한대로 가면 무한대이다.

1의 무한대 승은 1이다. (O)

 

ㄹ. $\lim_{x->0}{(\sqrt{x^2+x})\sin \frac{\pi}{x}} = 0$

삼각함수의 주기성에 대해 묻는 문제인 듯 하다.

앞의 항 $\sqrt{x^2+x}$는 0으로 수렴하고 $\sin\frac{\pi}{x}$는 0에서 1 사이에서 주기성을 가지고 진동한다.

그렇기 때문에 0에서 1 사이의 값 과0에 수렴하는 값의 곱은 0이 된다. (O)

 

ㅁ. $\lim_{x->1}{\frac{lnx}{x-1}} = 1$

이 문제에서 x의 극한으로 이동할 때 의 형태가 나타나는데 이것을 흔히 응꼴 이라고 한다. 이 때 로피탈 정리를 이용해 분모와 분자를 (x에 대해)미분하여 응꼴이 아닌 형태를 만든다.

lnx를 미분하면 $\frac{1}{x}$, x-1을 미분하면 1이 된다. 이 때 x가 1에 수렴하면 답은 1이 된다. (O)

 

답 : 3개

 

2. 문제에서 직선 $y = ax + b$ 에서 a와 b를 구해야 한다.

이 직선은 곡선 $y = 3x^2 - 4x + 6$ 과 접하고 직선 $y = -\frac{1}{2} + \frac{9}{2}$ 와 평행하다.

먼저 평행의 조건으로 a 를 구할 것이다. 두 직선이 수직하면 기울기의 곱은 1이다.

그렇기 때문에 $a*-\frac{1}{2} = -1$ -> a = 2 이다.

이후 곡선과 접하는 지점을 찾아야 한다. 이 문제의 경우 기울기가 주어진 직선과 곡선의 접하는 점을 구해야 한다.

곡선과 직선의 식을 연립해 $2x + b = 3x^2 - 4x + 6$ 을 풀어보자. 이 때 두 선은 접하기 때문에 만나는 점은 하나, 즉 판별식이 0이 되어야 한다. (2차식에서 판별식 D가 0보다 크면 2군데서 만나고 0이면 1군데 0보다 작으면 만나지 않는다.)

판별식 D 는 $ax^2 +bx + c = 0$ 일 때 D = 이다.

다시 문제로 돌아가 $3x^2 - 6x + (6-b) = 0 -> D = (-6)^2 - 4 * 3 * (6 - b) = 0 -> 36 - 12*(6-b) = 0$ 이기 때문에 b = 3 이다.

답 : 2+3 = 5

 

3. 이 문제는 원의 '호' 의 길이를 구하는 방법, 그리고 삼각함수에서 '코사인' 값을 구할 수 있냐를 묻는다. (단위는 km, km/h 를 기본으로 하겠다.)

지름이 2km 일 때 A->C->B 로 이동한다.

각 길이를 알아보자. (혹시나 해서 <그림 1> 첨부)

<그림 1> 문제 3 에서 각 길이를 구하는데 도움이 되는 그림

$\bar{AB} = 2$

$\bar{AC} = \bar{AB} * \cos\theta$

$\bar{BC} = 1 * 2\pi * \frac{2\theta}{2\pi} = 2\theta$

문제에서 주어진 '최대' 조건을 생각하기 전에 먼저 이동시간을 알아보자.

각도는 , 자전거의 속도는 a 일 때 A->C->B 에 걸리는 시간은 $\frac{2\cos\theta}{10} + \frac{2\theta}{a}$ 이다.

위 식을 이용하여 '최대' 혹은 '최소' 시간을 알기 위해서는 '보통의 경우' 미분을 해서 0이 나오는 지점을 찾는다. (처음부터 어떻게 풀어야지, 하는 생각이 없어서 글이 좀 지저분해지고 있음...)

위에 소모시간을 미분하면 $\frac{-2\sin\theta}{10} + \frac{2}{a}$ 이다. 여기서 $\theta = \frac{\pi}{6}$ 일 때 걸리는 시간이 최대이기 때문에 해당 값을 대입해보자. 이기 $-\frac{1}{10} + \frac{2}{a} = 0$ 때문에 a = 20이 된다.

답 : 자전거의 속도 = 20km/h (추후 그래프 업로드 하겠음)

 

4. 부들부들한 적분문제

계산이 안되길래 적분 계산해주는 사이트 가서 돌려보니 참 웃긴 결과가 나왔다.

(http://ko.numberempire.com/integralcalculator.php)

아크탄젠트 보니까 생각났는데, 이건 '치환적분'을 해서 풀어야 한다.

이번 문제를 보니 계산이 꽤나 긴 것이 있을 수 있으니 앞으로 식 마다 번호를 매기겠다.

치환적분을 하는 문제 중 $x^2 = t$ 와 같이 치환하는 문제는 상대적으로 쉬운 문제인데 이번 문제와 같이  $\sqrt{1-x^2}$ 와 같은 문제는 까다롭다. 물론 푸는 방법은 정해져 있으니 걱정 말자.

삼각함수의 상호 관계에 대한 글을 참고해보면 $\sqrt{1-x^2}$ 은 $x = \cos t$ , $\sqrt{1+x^2}$ 은 $x = \tan t$ 로 치환하자.

이번 문제는 코사인으로 치환하는 문제이다.

$x^2 = \cos t ... 식 1$

식 1과 같이 치환을 하면 dx 또한 dt 로 바꾸어주어야 t에 관한 적분이 된다. 식 1을 t에 대해 미분해 보자.

$\frac{d}{dt}x^2 = \frac{d}{dt}\cos t -> \frac{2x}{dt} = -\sin t -> 2x = -\sin t * dt ... 식 2$

식 1에 의해 적분 범위가 달라진다.

x가 0일 때 t 는 $\frac{\pi}{x}$ 이고, x 가 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 일 때 t는 $\frac{\pi}{3}$ 이다.

식 1, 2, 달라진 적분 범위를 문제의 식에 대입하자.

 $\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}x\sqrt{1-x^4}dx = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}2xdx*\frac{1}{2}\sqrt{1-x^4} = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}-\sin tdt * \frac{1}{2}\sqrt{1-(\cos t)^2} ... 식 3$

이 된다. 이제 식 3의 결과를 정리해서 정적분 값을 구하면 된다.

답은 $\frac{1}{4}(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4})$ 이다.

 

  

 

  곧 5-8 도 업로드 하겠다. (5가 계산이 자꾸 틀려서... 종이에 안풀고 티스토리 수식으로 계산하니 힘드네요)

<참고 문헌>

<그림>