함수의 극한 (극한의 정의, 극한값과 함수값, 좌극한과 우극한)

수학에서 사용할 '극한' 의 사전적 의미는 <참고 문헌 1> 의 2 번 뜻이다. 어떤 양이 일정한 규칙에 따라 어떤 일정한 값에 한없이 가까워지는 일. 

<참고 문헌 1> '극한' 의 사전적 의미

사전적 의미로 이해가 안되었을 수 있기 때문에 '극한' 기호를 보고 조금 더 설명을 하겠다. 

$\lim_{x \to 2}x^2$ 을 살펴보자. 

'lim' 은 극한을 취해주겠다는 의미의 기호이다.

그 옆의 x->2는 x 가 2에 한없이 가까워진다는 뜻이다. (좌극한 우극한의 개념 필요)

마지막으로 $x^2$ 는 극한을 취해주는 값, 혹은 식이다.

<그림 1> '극한' 설명을 위한 $y = x^2$ 그래프

<그림 2> 를 통해 살펴보면 x 의 값이 2 에 한없이 가까워질 때 $\lim_{x \to 2}x^2 = 4$가 됨을 알 수 있다. (스케일에 대한 태클은 거절한다.)

위 경우 x 는 2에 한없이 가까운 수일 뿐 '정확히' 2는 아니다. (y 값도 마찬가지이다.)

여기까지 설명했다면 '연속적이지 않은 함수' 에서 '극한값' 과 '함수값' 의 차이를 알아보자.

'극한값' 은 앞에서 말했듯이 x (혹은 다른 변수) 가 특정 값에 한없이 가까워질 때의 값이다. (앞의 예에서 2에 한없이 가까워지는 값)

그에 반해 '함수값' 은 x 에 정확한 값을 넣었을 때의 값이다. (앞의 예에서 2)

아래 식의 그래프를 그려 위 설명을 보충해 보자.

$f(x) = \begin{cases}
0, & (x<2) \\
2, & (x=2) \\
5, & (x>2)
\end{cases}$

<그림 2> 함수의 극한 (f(x), 좌극한 우극한 설명)

<그림 3> 의 그래프를 보면 $x = 2$ 일 때 $f(x) = 2$ 이다. (함수값)
$\lim_{x->2}{f(x)}$ 의 값이 0인지 5인지 모른다. 이 경우에 대해 '좌' 극한과 '우' 극한에 대한 설명이 필요하다.
말 그대로 '좌극한' 은 좌측에서 극한값에 한없이 가까워지는 것, '우극한'은 우측에서 극한값에 한없이 가까워지는 것이다.

이 경우 좌극한은 $\lim_{x \to 2^-}{f(x)}$ 우극한은 $\lim_{x \to 2^+}{f(x)}$ 와 같이 나타낸다. 
처음에 보았던 극한의 기호에서 극한값 위에 첨자를 붙여주면 된다.

결국 위 그래프는 2 주변에서 3가지 값을 가지고 각각 $f(x) = 2$, $\lim_{x \to 2^-}{f(x)} = 0$, $\lim_{x \to 2^+}{f(x)} = 5$ 로 나타낸다. 

이번에 설명하였던 것은 '극한의 정의', '극한값과 함수값', '좌극한과 우극한' 이다.

<참고 문헌>

1. 네이버 어학사전 (극한)

<그림>